Образование в эпоху цифры

Дорогами Эйлера, путями Гамильтона

Чем смартфон может помочь человеку, который хочет разобраться в сложных математических проблемах

Корнелис Корт. «Геометрия». 1565. Wellcome Collection
Текст: Андрей Коняев

Материал подготовлен в рамках проекта «The Earth Is Flat - Kак читать медиа?», реализуемого Гёте-Институтом в Москве и порталом COLTA.RU при поддержке Европейского союза


Одна из проблем математики, которая особенно проявляется при изучении геометрии и стереометрии, - это требование представить картинку. Таким навыком обладают далеко не все. Более того, разделение - и в школе, и в университете, - происходит именно тут: одни люди способны представить условную картинку, а другие - нет.

Приведу простой пример. В школе доказываются несколько теорем об особых точках треугольника. Например, теорема о том, что медианы треугольника, опущенные на противоположные стороны, пересекаются в одной точке, причем точка пересечения делит медианы в отношении один к двум. Люди заучивают эту теорему и в массе своей довольно быстро забывают. Почему? Потому что их не удивляет этот факт. Грубо говоря, если бы с теоремой был связан какой-то эмоциональный отклик, удивление, то запоминание этого факта проходило бы лучше. Мне кажется, что удивления нет, потому что люди не могут представить картинку. Если представить картинку, пошевелить точки, основания медиан, то этот факт становится, конечно, гораздо более впечатляющим.

Поэтому я считаю, что математические приложения должны решать именно эту задачу - давать человеку инструмент для более глубокого осознания и понимания математических концепций. Программы, которые решают за человека примеры, разумеется, не имеют к этому отношения. Я предлагаю 3 приложения, которые, на мой взгляд, эту задачу помогают решить - то есть позволяют более подробно понять математические объекты.


Long Division of Polynomials

Очень простое приложение, которое, как следует из названия, помогает делить многочлены в столбик. Вообще, деление в столбик чисел в школе проходят достаточно рано, однако, когда происходит переход к делению многочленов с остатком, это всегда вызывает вопросы. Отчасти потому, что эти объекты - числа и многочлены - представляются очень разными и по-разному вводятся в математический обиход. Лично для меня, несмотря на то, что я учился в математической школе, работа с многочленами представляла сложности.

Приложение позволяет отследить каждый этап деления и, в частности, очень удачно демонстрирует важную роль понятия степени полинома. Собственно, тот факт, что на каждом этапе деления эта степень понижается, и является основополагающим для понимания процесса. В частности, тут легче понять, когда это деление останавливается и какой получается остаток.

скачать тут

4 краски

Задача о четырех красках звучит так: пусть дан планарный граф - то есть конечное множество вершин, которые соединены кривыми - ребрами. Любое ребро соединяет ровно две вершины, и любые два ребра либо не имеют общих точек, либо имеют общую вершину. Утверждается, что вершины графа можно покрасить в четыре цвета так, чтобы никакое ребро не соединяло вершины одного цвета.

В популярном изложении эту задачу формулируют так - пусть есть политическая контурная карта с конечным числом стран. Пусть у стран нет анклавов – таких, как, например, Калининградская область у России. Тогда карту можно покрасить в четыре цвета так, что никакие две страны, имеющие протяженную (то есть не состоящую из конечного набора точек) границу, не будут покрашены в один цвет.

У этой задачи сложное решение. Однако приложение, о котором идет речь, позволяет поупражняться в раскрашивании как выдуманных, так и настоящих карт. Благодаря этому человек может примерно понять сложность, с которой сталкивались математики при решении этой задачи.

скачать тут

Euler & Hamilton Path

Пусть, как и в предыдущем случае, у нас есть граф - то есть набор вершин, соединенных ребрами. Граф уже не обязательно планарный, иными словами, ребра могут пересекаться, но точки их пересечения вершинами не считаются. Обходом графа называется последовательность вершин, каждые две из которых соединены ребром. По сути, это движение по ребрам графа с условием, что на перекрестке ребер нельзя свернуть с одного ребра на другое.

Эйлеровым путем в графе называется путь, который проходит по всем ребрам графа ровно один раз. Необходимым и достаточным условием существования эйлерова пути в связном графе является такое условие: в графе ровно две вершины нечетной степени (из них выходит нечетное число ребер), а все остальные вершины имеют четную степень (то есть из них выходит четное число ребер), либо в графе все вершины имеют четную степень. В первом случае эйлеров путь начинается в одной из нечетных вершин и заканчивается во второй, а во втором случае путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине (говорят, что задан эйлеров цикл).

Гамильтоновым путем называется последовательность вершин, в которой уже каждая вершина встречается ровно один раз. В отличие от поиска эйлерова пути нахождение гамильтонова пути - это очень сложная задача. Насколько она сложна, и насколько она сложнее поиска эйлерова пути, предлагает прочувствовать это приложение.

скачать тут